证明母子关系可以通过以下几种方式：
到当地派出所开具户籍证明
携带申请人的居民身份证和户口簿，若申请人已注销户口，则提交原户籍地公安机关出具的户籍记载证明。此外，还需提供申请人所在单位人事部门或档案所在地出具的亲属关系证明，或由申请人所在地街道办事处（乡、镇人民政府）出具亲属关系证明。若委托他人代为办理公证，则需提交授权委托书及本人的居民身份证。关系人需提交居民身份证、户口簿、护照、通行证及其他能够证明其身份的证明。
到公证处办理亲子关系公证书
除了户籍证明外，还需携带双方之间的父子关系证明文件，一起到公证处办理亲子关系的公证书。公证处会对提交的材料进行审核，并出具具有法律效力的公证书。
出生证明
出生证明是证明一个人出生的法律文件，对于母子关系的证明至关重要。在申请证明母子关系时，须提供孩子的出生证明，证明该孩子确实是指定母亲所生。出生证明可以通过医院或民政部门办理，一般需要提供相关申请资料，如父母的身份证明、结婚证明、医疗记录等。
亲子鉴定
亲子鉴定是通过比对DNA序列来确定亲子关系的一种科学方法。当母子关系存在争议或质疑时，亲子鉴定可以提供准确可靠的证据，以确实确定母子关系。亲子鉴定需要进行采样，一般是通过采集双方的唾液样本或血液样本，然后将样本送到相关的实验室进行分析。实验室会对样本进行基因检测，比对DNA序列，通过计算相似度来推断亲子关系的可能性。亲子鉴定具有准确性高、可靠性强的特点，是法律界被广泛采纳的证明亲子关系的方法之一。
其他证据
除了上述方法外，还可以通过其他证据来证明母子关系，例如和指定母亲的合影照片、家庭成员的证明、亲友的证词等。这些证据可以辅助证明母子关系的存在。
建议
首选方法：如果条件允许，建议优先选择到公证处办理亲子关系公证书，因为公证处出具的公证书具有法律效力，适用范围更广。
备选方案：如果无法到公证处办理，可以选择到派出所开具户籍证明，并结合出生证明和亲子鉴定结果来证明母子关系。
其他辅助证据：在证据链完整的情况下，可以辅助使用其他证据来增强证明力。
希望以上信息能帮助你顺利证明母子关系。