柯西不等式是数学中的一个基本不等式，它在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面有很强大的应用。柯西不等式的公式如下：
二维形式
\[
（a^2 + b^2）（c^2 + d^2） \geq （ac + bd）^2
\]
等号成立条件：$ad = bc$
三角形式
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{（a - c）^2 + （b - d）^2}
\]
等号成立条件：$ad = bc$
向量形式
\[
|\mathbf{\alpha}||\mathbf{\beta}| \geq |\mathbf{\alpha} \cdot \mathbf{\beta}|
\]
其中，$\mathbf{\alpha} = （a_1, a_2, \ldots, a_n）$，$\mathbf{\beta} = （b_1, b_2, \ldots, b_n）$
等号成立条件：$\mathbf{\beta}$为零向量，或$\mathbf{\alpha} = \lambda \mathbf{\beta}$（$\lambda \in \mathbb{R}$）
一般形式
\[
\left（ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right） \left（ \sum_{j=1}^{m} b_j^2 \right） \geq \left（ \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right）^2
\]
等号成立条件：$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \ldots = \frac{a_n}{b_n}$，或$a_i$、$b_i$均为零
这些公式是柯西不等式在不同情况下的具体表现形式，它们在数学分析和应用中非常重要。