二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数且 $a \neq 0$。二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：
开口方向 ：由 $a$ 的符号决定。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。顶点坐标：
抛物线的顶点坐标为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。
对称轴：
抛物线的对称轴是过顶点且平行于 $y$ 轴的直线，即 $x = -\frac{b}{2a}$。
增减性
当 $a > 0$ 时，函数在 $x < -\frac{b}{2a}$ 时单调递减，在 $x > -\frac{b}{2a}$ 时单调递增。
当 $a < 0$ 时，函数在 $x < -\frac{b}{2a}$ 时单调递增，在 $x > -\frac{b}{2a}$ 时单调递减。
最值
当 $a > 0$ 时，函数在顶点处取得最小值，即 $y_{\text{min}} = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
当 $a < 0$ 时，函数在顶点处取得最大值，即 $y_{\text{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
零点（根）：
二次函数的零点是方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解。根据判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以判断零点的个数和性质：
当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根（即一个重根）。
当 $\Delta < 0$ 时，方程无实根。
平移：
二次函数的图像可以通过平移得到其他形式的二次函数。例如，$y = a（x - h）^2 + k$ 是由 $y = ax^2$ 平移 $h$ 个单位水平，再平移 $k$ 个单位垂直得到的。
这些性质可以通过二次函数的解析式和图像直观地体现出来。例如，通过观察抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及增减性，可以确定 $a$ 的符号和顶点的坐标，从而进一步分析函数的最值和零点等性质。