等比数列的求和公式如下：
当公比 \（ q
eq 1 \） 时 ：
\[ S_n = \frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q} \]
其中，\（ a_1 \） 是首项，\（ q \） 是公比，\（ n \） 是项数。
当公比 \（ q = 1 \） 时
\[ S_n = n \times a_1 \]
即，所有项都等于首项 \（ a_1 \），总和就是项数乘以首项。
推导过程
求和公式的推导通常基于等比数列的性质。考虑以下等比数列的和：
\[ S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1} \]
将上式两边同时乘以公比 \（ q \）：
\[ q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^n \]
然后用原式减去乘以公比后的式子：
\[ S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n \]
\[ （1 - q） S_n = a_1 （1 - q^n） \]
从而得到：
\[ S_n = \frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q} \]
这个公式适用于 \（ q
eq 1 \） 的情况。当 \（ q = 1 \） 时，所有项都等于首项 \（ a_1 \），因此：
\[ S_n = n \times a_1 \]
应用
等比数列求和公式在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中有广泛应用。通过已知首项 \（ a_1 \） 和公比 \（ q \），我们可以快速求出等比数列的和，这在解决实际问题中非常有用。