雅克比行列式（Jacobian determinant）是一个在多元函数微分学中非常重要的概念。它是一个标量，表示多元函数变量替换后的面积伸缩因子。在直角坐标系中，雅克比行列式可以通过计算函数对各个变量的偏导数构成的矩阵的行列式得到。
对于一个n元函数系统：
$$f_1（x_1, x_2, ..., x_n） = 0$$
$$f_2（x_1, x_2, ..., x_n） = 0$$
...
$$f_m（x_1, x_2, ..., x_n） = 0$$
雅克比行列式J定义为：
$$J（x_1, x_2, ..., x_n） = \left| \frac{\partial（f_1, f_2, ..., f_m）}{\partial（x_1, x_2, ..., x_n）} \right|$$
其中，$\frac{\partial（f_1, f_2, ..., f_m）}{\partial（x_1, x_2, ..., x_n）}$ 是一个m × n的矩阵，其元素是各个函数对变量的偏导数。
雅克比行列式的几何意义是从原变量空间到新的变量空间的变换在某一点的局部线性化后的线性变换的行列式。在二维空间中，雅克比行列式用于计算二重积分的变换，例如从直角坐标系转换到极坐标系时，雅克比行列式的值等于新坐标系中的面积元素（如极坐标中的半径r）。
在实际应用中，雅克比行列式用于将复杂的非线性积分问题转化为更容易处理的线性积分问题。例如，在物理学中，哈密顿-雅可比方程就利用了雅克比行列式来描述系统的运动。
总结：
雅克比行列式是多元函数变量替换后的面积伸缩因子。
它可以通过计算偏导数构成的矩阵的行列式得到。
在二维空间中，雅克比行列式用于计算二重积分的变换。
雅克比行列式在物理学和其他科学领域中有着广泛的应用，特别是在处理非线性问题时。