二项分布的概率质量函数（PMF）公式为：
\[ P（X=k） = C（n, k） \cdot p^k \cdot （1-p）^{n-k} \]
其中：
\（ n \） 是试验的总次数。
\（ k \） 是事件发生的次数，取值范围为 \（ 0, 1, 2, \ldots, n \）。
\（ p \） 是每次试验中事件发生的概率。
\（ C（n, k） \） 是组合数，表示从 \（ n \） 次试验中选出 \（ k \） 次成功的组合方式数，计算公式为 \（ C（n, k） = \frac{n!}{k!（n-k）!} \）。
这个公式描述了在 \（ n \） 次独立的伯努利试验中，事件恰好发生 \（ k \） 次的概率。伯努利试验是指每次试验只有两种可能的结果，通常称为“成功”和“失败”，并且每次试验成功的概率是恒定的 \（ p \）。
示例
假设有 5 次独立的试验，每次试验成功的概率为 0.3。我们需要计算恰好有 2 次成功的概率：
1. \（ n = 5 \）
2. \（ k = 2 \）
3. \（ p = 0.3 \）
4. \（ 1 - p = 0.7 \）
首先计算组合数 \（ C（5, 2） \）：
\[ C（5, 2） = \frac{5!}{2!（5-2）!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
然后代入公式计算概率：
\[ P（X=2） = 10 \cdot （0.3）^2 \cdot （0.7）^3 = 10 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 0.3087 \]
所以，恰好有 2 次成功的概率是 0.3087。
应用场景
二项分布广泛应用于以下场景：
医学研究（如药物试验的有效性）
质量控制（如产品合格率）
社会科学研究（如投票结果）
生物学研究（如基因突变频率）
通过二项分布，我们可以量化在固定次数的独立试验中，某一事件发生特定次数的概率。