函数周期

函数的周期性是指 当自变量增大任意实数时，函数值有规律的重复出现。具体来说，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的任何值时，f（x + T） = f（x） 恒成立，那么函数f（x）就被称为周期函数，而T则被称为这个函数的一个周期。

周期函数的定义

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

最小正周期

对于一个函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f（x）的最小正周期。

周期函数的性质

1. 若T（≠0）是f（X）的周期，则-T也是f（X）的周期。

2. 若T（≠0）是f（X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（X）的周期。

3. 若T1与T2都是f（X）的周期，则T1±T2也是f（X）的周期。

4. 若f（X）有最小正周期T*，那么f（X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

5. T*是f（X）的最小正周期，且T1、T2分别是f（X）的两个周期，则 （T1+T2）/T*是有理数。

6. 若T1、T2是f（X）的两个周期，且T1T2是无理数，则f（X）不存在最小正周期。

7. 周期函数f（X）的定义域M必定是双向无界的集合。

求周期函数周期的方法

求函数周期的方法是把函数式子化成f（x）=f（x+a）的形式，那么它的周期就是a。如果存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f（x）=f（x+T）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T称为这个周期函数的一个周期。

示例

1. y=3cosx：因为cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π。

2. y=sin（x+π/4）：在x后面的角也不影响周期。

3. y=sin2x：因为sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin2x，所以自变量x只要且至少增加到x+π时，函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。

4. y=cos（x/2+π/4）：分析略。

5. y=sin（ωx+φ）：形如y=Asin（ωx+φ） 或y=Acos（ωx+φ） （A,ω,φ为常数，A≠0, x∈R） 的函数的周期为T=2π/ω。

希望这些信息对你有所帮助。