齐次线性方程组

齐次线性方程组是指所有方程的常数项都为零的线性方程组。具体来说，如果有一个线性方程组，其一般形式为：

\[

\begin{cases}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\

a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\

\vdots \\

a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0

\end{cases}

\]

其中 \（（a_{ij}）\） 是常数，\（（x_1, x_2, \ldots, x_n）\） 是未知数，那么这个方程组就是一个齐次线性方程组。

齐次线性方程组的一个重要性质是它的解集合是一个子空间。如果齐次线性方程组有非零解，则它有无穷多个解。这是因为自由变元可以取任意值，从而产生无穷多个解。

求解齐次线性方程组的方法包括高斯消元法和矩阵的零空间法。高斯消元法通过行变换将系数矩阵转换为行最简形式，从而找到方程组的解。对于齐次线性方程组，由于常数项都是零，所以增广矩阵就是系数矩阵。

另一个求解齐次线性方程组的方法是使用矩阵的零空间。通过计算系数矩阵的零空间，即找到所有满足 \（Ax = 0\） 的向量 \（x\），可以得到方程组的通解。零空间中的每个向量都对应方程组的一个解。

总结：

齐次线性方程组是指所有方程的常数项都为零的线性方程组。

齐次线性方程组的解集合是一个子空间，有无穷多个解。

常用的求解方法包括高斯消元法和矩阵的零空间法。