非齐次线性方程组（Nonhomogeneous linear equations）是指常数项不全为零的线性方程组，其一般形式为 $Ax = b$，其中 $A$ 是系数矩阵，$x$ 是未知数向量，$b$ 是常数项向量。求解非齐次线性方程组的步骤如下：
对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形
如果 $R（A） < R（B）$，则方程组无解。
如果 $R（A） = R（B）$，则进一步将 $B$ 化为行最简形。
设 $R（A） = R（B） = r$
把行最简形中 $r$ 个非零行的非零首元所对应的未知数用其余 $n-r$ 个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于某些常数 $C_1, C_2, \ldots, C_{n-r}$，即可写出含 $n-r$ 个参数的通解。
通解的结构
非齐次线性方程组的通解等于齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解，即 $\eta = \zeta + \eta^*$。
判断解的情况
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 $rank（A） = rank（A, b）$。否则为无解。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是 $rank（A） = n$。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是 $rank（A） < n$。
总结：
非齐次线性方程组的解法包括对增广矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形或行最简形，然后利用自由未知数表示通解。
通解的结构是齐次方程组的通解加上一个特解。
解的存在性和唯一性取决于系数矩阵和增广矩阵的秩的关系。
建议：
在实际求解过程中，可以先通过初等行变换判断方程组是否有解，再进一步求解通解。
对于有无穷多解的情况，需要先求出齐次方程组的基础解系，再求出一个特解，最后将它们相加得到通解。