平面向量的线性运算主要包括加法和数乘两种运算。
加法
定义：
向量的加法是求两个向量之和的运算。设有两个向量 a和 b，则它们的和记作 a + b。
几何表示：
可以通过平行四边形法则或三角形法则来进行向量的加法。
平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，则对角线所表示的向量即为两向量的和。
三角形法则：将一个向量 b的起点与另一个向量 a的终点相连，从 a的起点指向 b的终点的向量即为两向量的和。
交换律：
向量加法满足交换律，即 a + b = b + a。
结合律：
向量加法满足结合律，即 （a + b） + c = a + （b + c）。
数乘
定义：
实数与向量的乘积是一个向量，记作 λa，其中 λ是实数， a是向量。
模长：
数乘向量的模长等于实数的绝对值乘以向量的模长，即 |λa| = |λ| * |a|。
方向：
当 λ > 0时， λa的方向与 a相同；当 λ < 0时， λa的方向与 a相反；当 λ = 0时， λa是零向量，即模长为0的向量。
分配律：
数乘运算满足分配律，即：
λ（μa） = （λμ）a
（λ + μ）a = λa + μa
λ（a + b） = λa + λb
共线向量
定义：
如果两个向量 a和 b共线，那么存在一个实数 c，使得 b = ca。
性质：
共线向量具有相同的方向或相反的方向。
坐标运算
坐标表示：
向量可以用坐标表示，设向量 a在 x轴和 y轴上的坐标分别为 a_x和 a_y，则 a可以表示为 a = a_xi + a_yj。
加法运算：
两个向量的和的坐标等于对应坐标分量相加，即 （a_x + b_x）i + （a_y + b_y）j。
数乘运算：
实数与向量的乘积的坐标等于实数乘以向量的每个坐标分量，即 （λa_x）i + （λa_y）j。
通过掌握这些基本概念和运算规则，可以有效地进行平面向量的线性运算，并解决相关的几何问题。