样本方差是衡量数据集中样本数据离散程度的一种统计量。具体来说，它是每个样本值与样本均值之差的平方的平均值。样本方差的计算公式如下：
\[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} （x_i - \bar{x}）^2 \]
其中：
\（ S^2 \） 表示样本方差。
\（ n \） 表示样本中数据的个数。
\（ x_i \） 表示样本中的每个数据点。
\（ \bar{x} \） 表示样本均值，计算公式为 \（ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \）。
样本方差与总体方差的关系
样本方差是对总体方差的一个无偏估计。这意味着，当样本量足够大时，样本方差的期望值等于总体方差。总体方差的计算公式如下：
\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} （x_i - \mu）^2 \]
其中：
\（ \sigma^2 \） 表示总体方差。
\（ N \） 表示总体中数据的个数。
\（ x_i \） 表示总体中的每个数据点。
\（ \mu \） 表示总体均值。
样本方差的应用
样本方差在统计推断、质量控制、金融分析等领域有广泛应用。例如，在产品质量分析中，通过抽样检验来估计总体的方差，从而判断产品质量是否稳定。
样本方差的计算步骤
1. 计算样本均值 \（ \bar{x} \）。
2. 计算每个样本值与样本均值的差的平方。
3. 将这些平方差相加。
4. 将总和除以 \（ n-1 \）（而不是 \（ n \）），得到样本方差 \（ S^2 \）。
示例
假设有一组样本数据：2, 4, 6, 8, 10。
1. 计算样本均值：
\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2. 计算每个样本值与样本均值的差的平方：
\[ （2-6）^2 = 16, \quad （4-6）^2 = 4, \quad （6-6）^2 = 0, \quad （8-6）^2 = 4, \quad （10-6）^2 = 16 \]
3. 将这些平方差相加：
\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]
4. 将总和除以 \（ n-1 = 4 \）：
\[ S^2 = \frac{40}{4} = 10 \]
因此，这组数据的样本方差是 10。
结论
样本方差是衡量数据离散程度的重要统计量，通过样本数据来估计总体方差，从而提供对总体特征的推断。其计算公式为 \（ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} （x_i - \bar{x}）^2 \），并且是总体方差的无偏估计。