椭圆焦点三角形面积的公式推导如下：
设定变量和已知条件
设椭圆上任意一点为 $P$，两个焦点为 $F_1$ 和 $F_2$，且 $\angle F_1PF_2 = \theta$。
设 $PF_1 = m$，$PF_2 = n$，根据椭圆的定义，有 $m + n = 2a$。
应用余弦定理
在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由余弦定理可得：
$$
(F_1F_2)^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos \theta
$$
其中 $F_1F_2 = 2c$，代入得：
$$
4c^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos \theta
$$
化简关系式
又因为 $m + n = 2a$，则 $（m + n）^2 = 4a^2$，展开得：
$$
m^2 + n^2 + 2mn = 4a^2
$$
将 $m^2 + n^2$ 用 $4c^2 + 2mn \cos \theta$ 替换，得：
$$
4c^2 + 2mn - 2mn \cos \theta = 4a^2
$$
化简得：
$$
2mn(1 - \cos \theta) = 4a^2 - 4c^2 = 4b^2
$$
所以：
$$
mn = \frac{2b^2}{1 - \cos \theta}
$$
计算面积
焦点三角形的面积 $S$ 为：
$$
S = \frac{1}{2} mn \sin \theta
$$
将 $mn = \frac{2b^2}{1 - \cos \theta}$ 代入，得：
$$
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2b^2}{1 - \cos \theta} \sin \theta = \frac{b^2 \sin \theta}{1 - \cos \theta}
$$
利用三角恒等式 $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ 和 $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$，得：
$$
S = \frac{b^2 \cdot 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = b^2 \cot \frac{\theta}{2}
$$
又因为 $\cot \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\theta}{2}$，所以：
$$
S = b^2 \tan \frac{\theta}{2}
$$
综上所述，椭圆焦点三角形面积的公式为：
$$
S = b^2 \tan \frac{\theta}{2}
$$
其中，$\theta$ 为焦点三角形的顶角，$b$ 为椭圆的短半轴长。