绝对值三角不等式是数学中的一个基本不等式，它描述了两个实数 $a$ 和 $b$ 之间的绝对值关系。具体来说，绝对值三角不等式可以表述为：
$$||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$$
这个不等式可以通过多种方法进行证明，包括几何方法和代数方法。下面是一些关键点：
几何意义
在几何上，绝对值三角不等式可以解释为两个向量的夹角不超过90度。当两个向量的夹角为直角时，不等式成立；当夹角为钝角时，不等式不成立；当夹角为锐角时，不等式成立。
等号成立的条件
对于 $|a + b| = |a| + |b|$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 同号时成立（即 $ab \geq 0$ 且 $|a| \geq |b|$）。
对于 $|a - b| = |a| + |b|$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 异号时成立（即 $ab \leq 0$ 且 $|a| \geq |b|$）。
证明方法
几何法：通过在平面直角坐标系内画图，可以直观地证明绝对值三角不等式。例如，在单位圆上，两个点 $（cosa, sina）$ 和 $（cosb, sinb）$ 之间的距离和不大于1。
代数法：利用绝对值的性质进行推导。例如，通过变形 $|xy - ab| = |y（x - a） + a（y - b）|$ 并利用题设条件进行证明。
应用
绝对值三角不等式在数学的许多领域中都有广泛应用，包括代数、几何、三角学、复数等。它也是解决不等式恒成立问题和最值问题的重要工具。
总结起来，绝对值三角不等式是一个非常重要的数学工具，它提供了一种简洁而强大的方法来处理涉及绝对值的不等式问题。通过理解其几何意义和代数证明，可以更好地应用这个不等式来解决各种数学问题。