排列组合例题

例1 ：用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

解答

当个位数上排“0”时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有$A_9^3$种。

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有$A_4^1 \times A_8^2$种。

因此，没有重复数字的四位偶数共有$A_9^3 + A_4^1 \times A_8^2 = 112320 + 5040 = 117360$个。

例2：三个女生和五个男生排成一排，有以下几种情况：

解答

（1） 如果女生必须全排在一起，可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，排列有$A_6^6$种。对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有$A_3^3$种不同的排法，因此共有$A_6^6 \times A_3^3 = 4320 \times 6 = 25920$种不同的排法。

（2） 如果女生必须全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻。共有$A_6^6 = 720$种不同的排法。

（3） 如果两端都不能排女生，则从五个男生中选两个排在两端，有$A_5^2$种方法，剩下的三个男生和三个女生共六个元素排列有$A_6^6$种，因此共有$A_5^2 \times A_6^6 = 24 \times 720 = 17280$种不同的排法。

（4） 如果两端不能都排女生，则从五个男生中选一个排在两端，有$A_5^1$种方法，剩下的四个男生和三个女生共七个元素排列有$A_7^7$种，因此共有$A_5^1 \times A_7^7 = 5 \times 5040 = 25200$种不同的排法。

例3：排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，有以下几种情况：

解答

（1） 任何两个舞蹈节目不相邻的排法，可以先把5个歌唱节目排列，有$A_5^5$种方法，这样产生6个空位，再把4个舞蹈节目插入这6个空位中，有$A_6^4$种方法，因此共有$A_5^5 \times A_6^4 = 120 \times 362880 = 43545600$种不同的排法。

（2） 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法，可以先把5个歌唱节目和4个舞蹈节目交替排列，有$A_5^5$种方法，因此共有$A_5^5 = 120$种不同的排法。

例4：

某一天的课表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？

解答：总的排列方法有$A_6^6$种，减去不符合条件的情况。第一节排体育且最后一节排数学的情况有$A_5^5$种，第一节排体育且最后一节不排数学的情况有$A_5^5 \times A_4^4$种，最后一节排数学且第一节不排体育的情况有$A_5^5 \times A_4^4$种，因此共有$A_6^6 - 3 \times A_5^5 \times A_4^4 = 720 - 3 \times 120 \times