反证法是一种常用的证明方法，通过假设一个命题的否定是正确的，然后推导出矛盾，从而证明原命题是正确的。以下是几个反证法的经典例题：
证明根号2是无理数
假设：根号2是一个有理数，可以表示为两个整数的比值，即 $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$，其中 $a$ 和 $b$ 互质。
推导：将这个假设转化为等式 $2 = \frac{a^2}{b^2}$，进而得到 $2b^2 = a^2$。根据整数的奇偶性质，$a$ 必须为偶数，设 $a = 2k$，代入等式得到 $b^2 = 2k^2$，$b$ 也必须为偶数。这与 $a$ 和 $b$ 互质矛盾。
结论：假设不成立，根号2是无理数。
证明任意两个正整数的最大公约数存在
假设：不存在任意两个正整数的最大公约数。
推导：根据这个假设，对于任意两个正整数 $a$ 和 $b$，它们的最大公约数不存在，即 $gcd（a, b） = 1$。因为如果存在一个大于1的公约数，那么它就是最大公约数，与假设矛盾。
矛盾：我们知道存在无数个互质的正整数对，例如 $3$ 和 $5$，$7$ 和 $11$ 等等，这与假设矛盾。
结论：假设不成立，任意两个正整数的最大公约数是存在的。
证明如果 $a > b > 0$，那么 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$
假设：$\sqrt{a} \leq \sqrt{b}$。
推导：两边平方得到 $a \leq b$，这与已知条件 $a > b$ 矛盾。
结论：假设不成立，所以 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
证明一个整数的平方能被2整除，则这个数是偶数
假设：整数 $a$ 的平方能被2整除，但 $a$ 不是偶数。
推导：设 $a = 2m + 1$（$m$ 是整数），则 $a^2 = （2m + 1）^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m（m + 1） + 1$，$a^2$ 是奇数，与已知矛盾。
结论：假设不成立，所以 $a$ 是偶数。
这些例题展示了反证法在不同情境下的应用，通过假设否定命题并推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。