错位排列，也称Derangement，是组合数学中的一个概念，用于计算在有限个元素中，某些元素不在其原有位置上的排列数量。错位排列的递推公式如下：
基本递推公式
$D（n） = （n-1） \times （D（n-2） + D（n-1））$
初始条件
$D（1） = 0$
$D（2） = 1$
全错位排列公式
$D（n） = n! \times \left（1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + （-1）^n \frac{1}{n!}\right）$
另一种表达形式
$D（n） = n! - \sum_{i=1}^{n} \frac{n!}{i!}$
这些公式可以用来计算给定数量的元素的错位排列数。例如，错位排列数 $D（5）$ 可以通过上述公式计算得到：
使用基本递推公式：
$D（3） = 2 \times （D（1） + D（2）） = 2 \times （0 + 1） = 2$
$D（4） = 3 \times （D（2） + D（3）） = 3 \times （1 + 2） = 9$
$D（5） = 4 \times （D（3） + D（4）） = 4 \times （2 + 9） = 44$
使用全错位排列公式：
$D（5） = 5! \times \left（1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right）$
$D（5） = 120 \times \left（1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right）$
$D（5） = 120 \times \left（\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right）$
$D（5） = 120 \times \left（\frac{60 - 20 + 5 - 1}{120}\right）$
$D（5） = 120 \times \frac{44}{120} = 44$
这两种方法都可以得到相同的结果，即五个元素的错位排列数为44。