函数求导是微积分中的一个重要概念，它描述的是函数值随自变量变化的速率。求导的基本方法包括使用导数的定义、求导法则以及直接应用已知的求导公式。
导数的定义
导数可以通过极限来定义：
\[ f'（x） = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f（x + \Delta x） - f（x）}{\Delta x} \]
基本求导法则
常数法则 ：常数的导数为零。
\[ \frac{d}{dx}（c） = 0 \]
幂函数法则：
幂函数的导数是指数乘以底数的幂次减一。
\[ \frac{d}{dx}（x^n） = nx^{n-1} \]
指数函数法则：
以e为底的指数函数的导数是其自身。
\[ \frac{d}{dx}（e^x） = e^x \]
对数函数法则：
自然对数函数的导数是1除以函数值。
\[ \frac{d}{dx}（\ln x） = \frac{1}{x} \]
三角函数法则
\[ \frac{d}{dx}（\sin x） = \cos x \]
\[ \frac{d}{dx}（\cos x） = -\sin x \]
\[ \frac{d}{dx}（\tan x） = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \]
反函数法则：
如果函数f（x）在点x可导且严格单调，则其反函数f^{-1}（x）在对应点可导，且其导数为f^{-1}'（y） = \frac{1}{f'（x）}。
乘积法则：
两个函数乘积的导数是第一个函数的导数乘以第二个函数加上第二个函数的导数乘以第一个函数。
\[ \frac{d}{dx}（u \cdot v） = u' \cdot v + u \cdot v' \]
商法则：
两个函数商的导数是分子导数乘以分母减去分母导数乘以分子，再除以分母的平方。
\[ \frac{d}{dx}\left（\frac{u}{v}\right） = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]
链式法则：
对于复合函数y = f（g（x）），其导数是外函数f的导数乘以内函数g的导数。
\[ \frac{d}{dx}（f（g（x））） = f'（g（x）） \cdot g'（x） \]
复合函数求导
对于复合函数，我们需要先对内函数求导，然后乘以外函数的导数。例如，对于函数y = （sin x）^2，我们可以将其看作是两个函数的复合：u = sin x 和 y = u^2。首先对u求导得到y' = 2u，然后对x求u的导数得到u' = cos x，最后应用链式法则得到y' = 2sin x cos x。
隐函数求导
对于隐函数y = f（x），如果y可以表示为x的函数，即使y没有显式地解出，我们也可以通过隐函数求导法则来求导。这通常涉及到对等式两边同时求导，并解出y'。
参数方程求导
对于由参数方程x = x（t）和y = y（t）确定的函数，可以通过链式法则求导，得到y关于x的导数：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \]
求导是微积分中的基础工具，对于理解和解决与变化率和斜率相关的问题至关重要。在实际应用中，可能需要结合多种求导法则和技巧来求解复杂函数的导数。