复数乘法是复数的基本运算之一，其计算方式遵从多项式乘法法则。复数可以表示为 \（ z = a + bi \） 的形式，其中 \（ a \） 和 \（ b \） 是实数，而 \（ i \） 是虚数单位，满足 \（ i^2 = -1 \）。当我们要计算两个复数的乘积时，比如 \（ （a+bi） \） 和 \（ （c+di） \），可以将它们按照多项式乘法法则展开，并将结果中的 \（ i^2 \） 替换为 \（ -1 \）。
具体计算步骤如下：
1. 将两个复数按照多项式乘法法则展开：
\[
（a+bi）（c+di） = ac + adi + bci + bdi^2
\]
2. 将 \（ i^2 \） 替换为 \（ -1 \）：
\[
ac + adi + bci - bd
\]
3. 合并同类项：
\[
（ac - bd） + （ad + bc）i
\]
所以，\（ （a+bi）（c+di） \） 的乘积就是 \（ （ac - bd） + （ad + bc）i \）。
这个过程并不需要死记硬背乘法公式，只要理解多项式乘法法则，并且能够把 \（ i^2 \） 替换为 \（ -1 \），就可以轻松计算出两个复数的乘积。
复数乘法的几何意义
复数乘法可以看作是复平面上的向量乘法。具体来说，复数 \（ z_1 = a + bi \） 和 \（ z_2 = c + di \） 可以看作是平面上的两个向量 \（ \vec{OP_1} \） 和 \（ \vec{OP_2} \），其中 \（ O \） 是原点，\（ P_1 \） 和 \（ P_2 \） 分别是复数对应的点。复数乘法的结果 \（ z_1 z_2 = （ac - bd） + （ad + bc）i \） 可以表示为向量 \（ \vec{OP_1} \） 和 \（ \vec{OP_2} \） 的和，即 \（ \vec{OP_3} \），其坐标为 \（ （ac - bd, ad + bc） \）。
复数乘法的运算律
复数乘法满足以下运算律：
交换律：
\（ z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1 \）
结合律：
\（ （z_1 \times z_2） \times z_3 = z_1 \times （z_2 \times z_3） \）
分配律：
\（ z_1 \times （z_2 + z_3） = z_1 \times z_2 + z_1 \times z_3 \）
这些运算律使得复数乘法在数学运算中非常灵活和有用。
总结
复数乘法的法则是通过将复数视为多项式进行乘法运算，并将 \（ i^2 \） 替换为 \（ -1 \） 来得到结果。理解这些步骤和运算律有助于快速准确地计算复数的乘积，并且复数乘法在复平面上的几何意义也非常直观。