圆台的体积公式为：
\[ V = \frac{1}{3} \pi h （R^2 + Rr + r^2） \]
其中：
\（ r \） 是圆台的上底面半径，
\（ R \） 是圆台的下底面半径，
\（ h \） 是圆台的高。
这个公式的推导可以通过多种方法得到，以下是其中两种常见的推导方法：
方法一：使用圆柱和圆锥的体积公式
大圆锥的体积
圆锥的体积公式为 \（ V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \），其中 \（ R \） 是底面半径，\（ H \） 是高。
小圆锥的体积
假设圆台的上底面半径为 \（ r \），则小圆锥的底面半径也为 \（ r \），高为 \（ h - H \）。
小圆锥的体积为 \（ V_{\text{small cone}} = \frac{1}{3} \pi r^2 （h - H） \）。
圆台的体积
圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积：
\[ V = V_{\text{cone}} - V_{\text{small cone}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H - \frac{1}{3} \pi r^2 （h - H） \]
整理得：
\[ V = \frac{1}{3} \pi （R^2 H - r^2 h + r^2 H） = \frac{1}{3} \pi （2R^2 H - r^2 h） \]
由于 \（ H = h - （r - R） \），代入上式得：
\[ V = \frac{1}{3} \pi （2R^2 （h - （r - R）） - r^2 h） = \frac{1}{3} \pi （2R^2 h - 2R^2 r - r^2 h + r^2 R） = \frac{1}{3} \pi （R^2 h + Rr + r^2） \]
方法二：使用积分法
圆台的侧面积
圆台的侧面可以近似看作是一个圆柱的侧面，其侧面积为：
\[ S_{\text{lateral}} = \pi （R + r） l \]
其中 \（ l \） 是圆台的母线长。
圆台的上底面积和下底面积
上底面积为 \（ S_1 = \pi r^2 \），
下底面积为 \（ S_2 = \pi R^2 \）。
圆台的体积
圆台的体积等于侧面积乘以高加上上底面积和下底面积的平均值乘以高：
\[ V = S_{\text{lateral}} h + \frac{1}{2} （S_1 + S_2） h = \pi （R + r） l h + \frac{1}{2} （\pi r^2 + \pi R^2） h \]
整理得：
\[ V = \pi h （R + r） l + \frac{1}{2} \pi h （r^2 + R^2） = \pi h （R^2 + Rr + r^2） \]
通过以上两种方法，我们得到了圆台的体积公式：
\[ V = \frac{1}{3} \pi h （R^2 + Rr + r^2） \]