点斜式直线方程是一种用于表示直线的方程，它使用一点的坐标和直线的斜率来描述直线。点斜式方程的一般形式如下：
\[ y - y_1 = k（x - x_1） \]
其中：
\（（x_1, y_1）\） 是直线上的一点，表示为点 \（P（x_1, y_1）\）；
\（k\） 是直线的斜率。
这个方程描述了直线上所有点 \（（x, y）\） 满足以下条件：
这些点都在直线上；
这些点到点 \（P（x_1, y_1）\） 的斜率等于 \（k\）。
推导过程
1. 设点 \（P（x, y）\） 是直线上不同于点 \（P_1（x_1, y_1）\） 的任意一点。
2. 直线 \（PP_1\） 的斜率应等于直线 \（L_1\） 的斜率，即 \（k = \frac{y - y_1}{x - x_1}\）。
3. 将这个斜率代入点斜式方程，得到 \（y - y_1 = k（x - x_1）\）。
特殊情况的处理
当直线的倾斜角为 \（0^\circ\） 时，即直线与 \（x\） 轴平行，斜率 \（k = 0\），此时方程为 \（y = y_1\）。
当直线垂直于 \（x\） 轴时，斜率 \（k\） 不存在，此时方程为 \（x = x_1\）。
应用实例
已知直线过点 \（A（3, 5）\），且斜率为 2，求该直线方程。
代入点斜式方程：\（y - 5 = 2（x - 3）\）。
化简得到：\（y = 2x + 1\）。
点斜式方程在解析几何中应用广泛，特别是在需要快速确定直线方程的情况下。通过已知一点和斜率，可以迅速写出直线方程，并进行进一步的分析或计算。