数学期望，也称为期望或均值，是概率论和统计学中的一个核心概念。它表示一个随机变量在多次试验中平均取值的大小。具体来说，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
数学期望的定义
对于离散型随机变量 $X$，其数学期望 $E（X）$ 定义为：
$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i$$
其中，$x_i$ 是 $X$ 的可能取值，$p_i$ 是对应的概率，且 $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$。
对于连续型随机变量 $X$，其数学期望 $E（X）$ 定义为：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx$$
其中，$f（x）$ 是 $X$ 的概率密度函数。
数学期望的性质
线性性质
对于所有满足条件的离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 以及常量 $a$ 和 $b$，有：
$$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$$
对于所有满足条件的随机变量 $X$ 和 $Y$，有：
$$E(XY) = E(X)E(Y)$$
全概率公式
假设 $\{B_n \mid n = 1, 2, 3, \ldots\}$ 是一个“概率空间有限或可数无限”的分割，且集合 $B_n$ 是一个“可数集合”，则对于任意事件 $A$ 有：
$$P(A) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A \mid B_n)P(B_n)$$
全期望公式
$E（Y） = E（E（Y \mid X）） = \sum_{i=1}^{\infty} P（X = x_i）E（Y \mid X = x_i）$
数学期望的应用
数学期望在许多领域都有广泛应用，包括经济学、金融学、物理学、工程学等。例如，在赌博游戏中，可以通过计算每个结果的概率乘以其奖金来求得期望奖金；在投资中，可以通过计算预期回报率来评估投资的风险和收益。
示例
假设有两个选手甲和乙进行两局比赛，甲赢一局的概率为 $\frac{3}{4}$，乙赢一局的概率为 $\frac{1}{4}$。每局比赛甲赢则获得100法郎，乙赢则获得100法郎。虽然比赛不能再进行，但可以通过计算期望值来确定奖金的分配：
甲的期望获得奖金为：
$$E(\text{甲}) = 100 \times \frac{3}{4} = 75 \text{法郎}$$
乙的期望获得奖金为：
$$E(\text{乙}) = 100 \times \frac{1}{4} = 25 \text{法郎}$$
因此，甲应分得75法郎，乙应分得25法郎。
综上所述，数学期望是概率论和统计学中一个非常重要的概念，它提供了一种量化随机变量平均取值的方法，并在许多实际应用中发挥着关键作用。