二次函数是数学中一类非常重要的函数，其一般形式为 $f（x） = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。下面我们将详细探讨二次函数的性质：
开口方向与顶点
开口方向：二次函数的开口方向取决于系数 $a$ 的正负。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。当 $a > 0$ 时，顶点是抛物线的最低点；当 $a < 0$ 时，顶点是抛物线的最高点。
与 $y$ 轴的交点
二次函数与 $y$ 轴的交点就是当 $x = 0$ 时的函数值，即 $（0, c）$。这个点是抛物线与 $y$ 轴的唯一交点。
对称轴
二次函数的对称轴是直线 $x = -\frac{b}{2a}$。对称轴将抛物线分成对称的两部分。
单调性
当 $a > 0$ 时，函数在对称轴左侧是减函数，在对称轴右侧是增函数。当 $a < 0$ 时，函数在对称轴左侧是增函数，在对称轴右侧是减函数。
最值
当 $a > 0$ 时，函数在顶点处取得最小值，即 $f\left（ -\frac{b}{2a} \right） = \frac{4ac - b^2}{4a}$。当 $a < 0$ 时，函数在顶点处取得最大值。
判别式
二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。根据 $\Delta$ 的值，可以判断方程的根的情况：
当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，即抛物线与 $x$ 轴有两个不同的交点。
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根，即抛物线与 $x$ 轴有一个交点（顶点在 $x$ 轴上）。
当 $\Delta < 0$ 时，方程无实根，即抛物线与 $x$ 轴无交点。
解析式的表示方法
二次函数有三种常见的解析式表示方法：
一般式：$y = ax^2 + bx + c$。
顶点式：$y = a（x - h）^2 + k$，其中 $（h, k）$ 为顶点坐标。
交点式：$y = a（x - x_1）（x - x_2）$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 为抛物线与 $x$ 轴的交点横坐标。
这些性质是二次函数的基本概念，掌握这些性质有助于更好地理解和应用二次函数。