柯西不等式是数学分析中的一个重要不等式，它有多种形式和应用。以下是柯西不等式的高中公式及其相关解释：
二维形式
公式：$（a^2 + b^2）（c^2 + d^2） \geq （ac + bd）^2$
解释：这个不等式表明两个向量的点积的平方小于等于这两个向量的模长的平方的乘积。当且仅当两个向量方向相同时，等号成立。
向量形式
公式：$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \geq |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|$
解释：这个不等式说明两个向量的模长的乘积大于等于这两个向量的点积的绝对值。当且仅当两个向量方向相同时，等号成立。
三角形式
公式：$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} \geq \sqrt{（a - c）^2 + （b - d）^2}$
解释：这个不等式表明两个向量的模长之和大于等于这两个向量的差向量的模长。当且仅当两个向量方向相同时，等号成立。
一般形式
公式：$（\sum a_i^2）（\sum b_i^2） \geq （\sum a_i b_i）^2$
解释：这个不等式表明两个向量的各分量的平方和的乘积大于等于这两个向量的各分量乘积的平方和。当且仅当两个向量方向相同时，等号成立。
这些公式在解决不等式证明、向量运算、概率论和积分学等问题中有着广泛的应用。希望这些信息对你有所帮助。