求函数值域的方法有很多种，以下是一些常见的方法及其例题详解：
1. 观察法
例题1： 求函数 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ 的值域。
解： 由于 $x^2 \geq 0$，所以 $x^2 + 1 \geq 1$。因此，$0 < \frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$。
值域: $（0, 1]$。
2. 配方法
例题2： 求函数 $y = x^2 - 2x + 5$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的值域。
解： 将 $y$ 配方得 $y = （x - 1）^2 + 4$。在区间 $[-1, 2]$ 上，$（x - 1）^2$ 的最小值为 0，最大值为 4。
值域: $[4, 8]$。
3. 换元法
例题3： 求函数 $y = 2x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ 的值域。
解： 令 $t = x - 1$，则 $y = 2（t + 1） + \frac{1}{t} = 2t + 3 + \frac{1}{t}$。考虑函数 $f（t） = 2t + 3 + \frac{1}{t}$ 的单调性，可以发现其在 $t > 0$ 时单调递增，在 $t < 0$ 时单调递减。
值域: $[3, +\infty）$。
4. 分离常数法
例题4： 求函数 $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ 的值域，其中 $x \geq -4$。
解： 将 $y$ 变形为 $y = 1 - \frac{3}{x + 2}$。由于 $x \geq -4$，则 $\frac{3}{x + 2}$ 的取值范围为 $（-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [0, +\infty）$。
值域: $（-\infty, 1] \cup [\frac{5}{2}, +\infty）$。
5. 单调性法
例题5： 求函数 $f（x） = \ln（2x + 3） + x^2$ 在区间 $[-3, 4]$ 上的最大值和最小值。
解： 首先求导数 $f'（x） = \frac{2}{2x + 3} + 2x$。令 $f'（x） = 0$，解得 $x = -\frac{3}{2}$ 或 $x = -1$。在区间 $[-3, -1]$ 上，$f（x）$ 单调递减；在区间 $[-1, 4]$ 上，$f（x）$ 单调递增。
值域: $[-5, 13]$。
6. 数形结合法
例题6： 求函数 $y = x^3 - x$ 的值域。
解： 令 $y = x（x^2 - 1） = x（x - 1）（x + 1）$。通过观察函数图像，可以发现 $y$ 的最小值为 0。
值域: $[0, +\infty）$。
7. 反函数法
例题7： 求函数 $y = \frac{x + 1}{x + 2}$ 的值域。
解： 先求反函数 $x = \frac{y - 1}{y + 1}$，其定义域为 $y \neq -1$。
值域: $y \neq -1$。
通过以上方法，可以求出各种函数的值域。选择合适的方法取决于函数的形式和性质。希望这些例题能帮助你更好地理解和掌握求函数值域的方法。