平方和公式指的是两个数的平方和可以表示为这两个数的平方加上两倍它们的乘积。推导如下：
代数推导
设两个数分别为 $a$ 和 $b$，其平方和为 $（a + b）^2$。
按照乘法公式展开：$（a + b）^2 = （a + b） \times （a + b）$。
将乘法分配律应用到括号中的项：$= a \times （a + b） + b \times （a + b）$。
按照乘法运算规则进行计算：$= a^2 + ab + ab + b^2$。
合并同类项：$= a^2 + 2ab + b^2$。
因此，$（a + b）^2$ 等于 $a^2 + 2ab + b^2$，这就是平方和的公式。
几何推导
画一个正方形，边长为 $a + b$。
将正方形分成四个小正方形，每个小正方形的边长为 $a$ 或 $b$。
将两个边长为 $a$ 的小正方形合并成一个矩形，其长为 $a$，宽为 $b$。
现在正方形中只剩下三个小正方形和一个矩形，其面积分别为 $a^2$，$b^2$，$ab$ 和 $ab$。
将这些面积相加，得到 $（a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
数学归纳法
当 $n = 1$ 时，$1 = 1 \times （1 + 1） \times （2 \times 1 + 1） / 6$，所以公式成立。
假设当 $n = k$ 时，公式成立，即 $1 + 4 + 9 + \ldots + k^2 = k（k + 1）（2k + 1） / 6$。
当 $n = k + 1$ 时，$1 + 4 + 9 + \ldots + k^2 + （k + 1）^2 = （k + 1） \times [（2k^2 + k） / 6 + （k + 1）]$。
通过整理，得到 $（k + 1） \times [（k + 1） / 6] \times （2k + 3） = （k + 1） \times （k + 2） \times （2k + 3） / 6$。
所以当 $n = k + 1$ 时，公式也成立。
利用恒等式
$（n + 1）^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$。
$n^3 - （n - 1）^3 = 3（n - 1）^2 + 3（n - 1） + 1$。
将以上 $n$ 个式子相加，得到 $（n + 1）^3 - 1 = 3（1^2 + 2^2 + \ldots + n^2） + 3[1 + 2 + \ldots + n] + n$。
整理后得到 $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = n（n + 1）（2n + 1） / 6$。
综上所述，平方和公式 $（a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 可以通过代数方法、几何方法、数学归纳法以及利用恒等式进行推导。这个公式在数学中非常有用，可以用来简化计算、展开代数式以及进行证明等。