求函数的值域是数学分析中的一个重要部分，通常有多种方法可以应用。以下是一些常见的方法和例题：
直接法：
从变量x的范围出发推出y的取值范围。
例题：求函数 $y = x^2 - 2x + 5$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的值域。
解析：首先，将函数化为顶点形式 $y = （x - 1）^2 + 4$。由于这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处，即 $x = 1$ 时，$y = 4$。在区间 $[-1, 2]$ 上，函数的最大值出现在端点之一，计算得 $y（-1） = 8$ 和 $y（2） = 5$。因此，函数的值域为 $[4, 8]$。
配方法：
将函数转化为二次函数的标准形式，利用二次函数的性质求值域。
例题：求函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的值域。
解析：将函数化为顶点形式 $y = （x - 2）^2 - 1$。由于这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处，即 $y = -1$。因此，函数的值域为 $[-1, +\infty）$。
换元法：
通过换元将复杂的函数转化为简单的函数。
例题：求函数 $y = 2x^2 + 3x - 1$ 的值域。
解析：令 $t = x^2 + \frac{3}{2}x$，则 $y = 2t - 1$。由于 $t = x^2 + \frac{3}{2}x = \left（x + \frac{3}{4}\right）^2 - \frac{25}{16}$，$t$ 的最小值为 $-\frac{25}{16}$。因此，$y$ 的值域为 $\left[-\frac{25}{16} - 1, +\infty\right） = \left[-\frac{41}{16}, +\infty\right）$。
反函数法：
利用函数和其反函数的定义域与值域的互逆关系求值域。
例题：求函数 $y = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$ 的值域。
解析：首先，将函数化为 $y = \frac{1}{（x - 1）^2}$。由于分母 $（x - 1）^2 \geq 0$，且当 $x \neq 1$ 时，$（x - 1）^2 > 0$，因此 $y > 0$。所以函数的值域为 $（0, +\infty）$。
导数法：
利用导数求出函数的单调性和极值点，从而确定值域。
例题：求函数 $y = x^3 - 3x + 1$ 的值域。
解析：求导得 $y' = 3x^2 - 3$。令 $y' = 0$，解得 $x = \pm 1$。在 $x = -1$ 处，$y = 3$；在 $x = 1$ 处，$y = -1$。由于函数在 $（-\infty, -1）$ 上单调递增，在 $（-1, 1）$ 上单调递减，在 $（1, +\infty）$ 上单调递增，因此函数的值域为 $[-1, 3]$。
这些方法可以根据具体的函数形式和题目要求灵活选择和应用。