实对称矩阵的特征值 全部是实数。这一结论可以通过多种方法证明，以下是其中两种常见的证明方式：
证明方法一：利用共轭矩阵和共轭复数的性质
设 \（ A \） 为 \（ n \） 阶实对称矩阵，如果 \（ \lambda \） 是 \（ A \） 的一个特征值， \（ x \） 是对应于 \（ \lambda \） 的一个特征向量，则有：
\[ Ax = \lambda x \]
由于 \（ A \） 是实对称矩阵，所以 \（ A = A^T \）。对等式两边取共轭，得到：
\[ A^* x = \overline{\lambda} x \]
其中 \（ A^* \） 表示 \（ A \） 的共轭转置矩阵。由于 \（ A = A^T \），所以 \（ A^* = A \）。因此，我们有：
\[ A x = \overline{\lambda} x \]
将原方程 \（ Ax = \lambda x \） 和共轭方程 \（ A x = \overline{\lambda} x \） 联立，得到：
\[ \lambda x = \overline{\lambda} x \]
这意味着 \（ \lambda \） 必须等于其共轭复数 \（ \overline{\lambda} \），即 \（ \lambda \） 是实数。因此，实对称矩阵的特征值全部是实数。
证明方法二：利用线性代数的基本定理
实对称矩阵 \（ A \） 满足 \（ A = A^T \）。考虑 \（ A \） 的特征值和特征向量，设 \（ \lambda \） 是 \（ A \） 的一个特征值， \（ x \） 是对应于 \（ \lambda \） 的一个特征向量，则有：
\[ Ax = \lambda x \]
将上式两边同时左乘 \（ A \），得到：
\[ A^2 x = A（\lambda x） = \lambda Ax = \lambda^2 x \]
另一方面，由于 \（ A = A^T \），我们有：
\[ A^2 x = （A^T）^2 x = （A A）^T x = A^T （A^T x） = A^T （\lambda x） = \lambda A^T x = \lambda^2 x \]
因此，我们得到：
\[ \lambda^2 x = \lambda^2 x \]
这表明 \（ \lambda^2 \） 是实数，因此 \（ \lambda \） 必须是实数。所以，实对称矩阵的特征值全部是实数。
其他性质
除了特征值全部是实数之外，实对称矩阵还具有以下性质：
1. 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2. n阶实对称矩阵必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身的特征值。
3. 实对称矩阵的特征值之和等于矩阵的主对角线元素之和（即矩阵的迹）。
4. 实对称矩阵的特征值之积等于矩阵的行列式。
这些性质在解决线性代数问题时非常有用，特别是在处理实对称矩阵时。