等差数列的前n项和公式如下：
公式一
$$S_n = \frac{n}{2} （2a_1 + （n-1）d）$$
其中，$S_n$ 表示前n项和，$a_1$ 表示首项，$d$ 表示公差，$n$ 表示项数。
公式二
$$S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n）$$
其中，$a_n$ 表示第n项，可以通过通项公式 $a_n = a_1 + （n-1）d$ 计算得出。
推导过程
公式二可以通过将数列倒序相加得到：
$$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n$$
$$S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1$$
将两式相加：
$$2S_n = （a_1 + a_n） + （a_2 + a_{n-1}） + \cdots + （a_n + a_1）$$
由于等差数列中，$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots$，所以：
$$2S_n = n（a_1 + a_n）$$
$$S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n）$$
应用
这两个公式都可以用来计算等差数列的前n项和，选择哪个公式可以根据具体情况而定。公式一更直观，适合手工计算；公式二则适合编程和计算机实现，因为它避免了重复计算。
示例
假设一个等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 2$，项数 $n = 5$，则：
1. 使用公式一：
$$S_5 = \frac{5}{2} （2 \times 3 + （5-1） \times 2） = \frac{5}{2} （6 + 8） = \frac{5}{2} \times 14 = 35$$
2. 使用公式二：
$$a_5 = 3 + （5-1） \times 2 = 3 + 8 = 11$$
$$S_5 = \frac{5}{2} （3 + 11） = \frac{5}{2} \times 14 = 35$$
无论使用哪个公式，结果都是35。