负二项分布

负二项分布（Negative Binomial Distribution），也称Pascal分布，是一种离散概率分布，用于描述在一系列独立同分布的伯努利试验中，成功次数达到指定次数（记为r）时所需试验次数的分布。负二项分布与二项分布有相似的性质，但它们在试验次数和成功次数的定义上有所不同。

负二项分布的定义

负二项分布的定义如下：

独立试验：每次试验只有两种可能的结果，即“成功”或“失败”。

成功概率：每次试验成功的概率为p。

试验终止条件：试验一直进行，直到成功出现r次为止。

随机变量：记所需试验次数为X，X服从负二项分布，记作X ∼ NB（r, p）。

负二项分布的概率质量函数

负二项分布的概率质量函数为：

$$P（X = k） = \binom{k + r - 1}{r - 1} p^r （1 - p）^k$$

其中，k = 0, 1, 2, ...，r为成功的固定次数，p为每次试验成功的概率。

负二项分布与二项分布的区别

定义

二项分布：在n次独立伯努利试验中，成功次数k的分布。

负二项分布：在独立伯努利试验中，直到成功出现r次为止所需试验次数k的分布。

试验次数

二项分布：试验次数n是固定的。

负二项分布：试验次数k是随机的，直到成功出现r次为止。

取值范围

二项分布：成功次数k的取值范围是0到n。

负二项分布：试验次数k的取值范围是0到无穷大。

负二项分布的应用

负二项分布常用于以下场景：

排队论：描述顾客到达服务台后，等待时间直到有r个顾客到达为止的平均数。

可靠性工程：计算产品在其寿命期内发生故障前的工作小时数。

医学研究：如寄生虫学、医学昆虫学、微生物学以及流行病学中的研究，如钉螺的频数分布。

负二项分布的参数

负二项分布的两个参数是：

成功概率p：每次试验成功的概率。

成功次数r：试验持续到成功出现r次为止。

负二项分布的矩母函数

负二项分布的矩母函数为：

$$M_X（t） = \frac{p^r （1 - p）}{1 - （1 - p）t}$$

其中，t为矩母函数的自变量。

负二项分布的渐近分布

当n充分大时，负二项分布可以近似为正二项分布，其均值和方差分别为：

均值：$\frac{r（1 - p）}{p}$

方差：$\frac{r（1 - p）}{p^2}$。

负二项分布是一种重要的离散概率分布，广泛应用于各种统计和工程领域。通过理解其定义、概率质量函数、与二项分布的区别以及应用，可以更好地利用负二项分布来解决实际问题。