人民法院和人民检察院的职权如下：
人民法院的职权
审判案件
审判法律规定由省高级人民法院指定由市法院管辖和市法院认为依法应当由自己审判的刑事、民事、行政等第一审案件。
审判法律规定由市法院审判的刑事、民事、行政等第二审案件。
审查处理不服市法院和下级法院判决、裁定的各类申诉和申请再审案件。
审判由检察机关按照审判监督程序提出抗诉的案件。
对下级人民法院管辖不明的案件指定管辖。
执行权和决定权
依法行使司法执行权和司法决定权。
依法决定国家赔偿。
管理、协调全市法院执行工作。
监督和指导
监督和指导基层人民法院的审判工作。
结合审判工作宣传法制，教育公民自觉遵守宪法和法律。
其他职责
研究、征集对法律、法规、规章草案的意见；对案件审理中发现的问题提出司法建议。
负责指导全市法院思想政治工作、教育培训工作；按照权限管理法官及其他人员；协助管理全市法院机构、人员编制工作；主管全市法院监察工作。
承办其他应由市法院负责的工作。
人民检察院的职权
法律监督
对叛国案、分裂国家案以及严重破坏国家的政策、法律、法令、政令统一实施的重大犯罪案件行使检察权。
对直接受理的国家工作人员利用职权实施的犯罪案件进行侦查。
侦查和审查
对公安机关办理的刑事案件进行审查，决定可否批准逮捕、起诉；对公安机关的立案活动、侦查活动可否合法实行监督。
对刑事案件提起公诉，支持公诉；对人民法院刑事审判活动可否合法实行监督。
执行监督
对刑事案件判决、裁定的执行和监狱、看守所、劳动改造机关的活动可否合法实行监督。
对民事诉讼和行政诉讼可否合法实行监督。
抗诉和检察建议
对确有错误的第一审判决、裁定，向上一级人民法院提出抗诉。
通过抗诉、检察建议等方式，对民事诉讼活动实行法律监督。
总结
人民法院和人民检察院作为我国的司法机关，分别承担着审判和法律监督的重要职责。人民法院主要负责审理案件并作出裁判，而人民检察院则负责对法律的实施进行监督，确保司法活动的公正和合法。两者共同维护了国家的法治秩序和社会公平正义。