定积分在几何学中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面：
求面积
平面图形：定积分可以用来求各种平面图形的面积，例如矩形、三角形、梯形等。公式为：
$$
A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
其中 $f（x）$ 是定义在 $[a, b]$ 区间内的函数，表示曲线下的面积。
立体图形：定积分也可以用来求旋转体的体积，例如圆柱体、圆锥体、球体等。公式为：
$$
V = \int_{r_0}^{r} \pi r^2 \, dr
$$
其中 $r$ 是旋转体的半径，$r_0$ 是旋转体的底面半径。
求长度
曲线长度：定积分可以用来求曲线和曲面的长度。对于一条曲线，其长度公式为：
$$
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx
$$
其中 $f（x）$ 是定义在 $[a, b]$ 区间内的函数，表示曲线。
曲面长度：对于一张二维曲面，其长度公式为：
$$
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2 + [f'(y)]^2} \, dx \, dy
$$
其中 $f（x, y）$ 是定义在 $[a, b]$ 区间内的函数，表示曲面。
求重心和转动惯量
重心：定积分可以用来求物体的重心。对于一个均匀的薄板，其重心公式为：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \int_{a}^{b} x f(x) \, dx = \frac{b - a}{2} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
其中 $f（x）$ 是定义在 $[a, b]$ 区间内的函数，表示薄板的密度。
转动惯量：定积分也可以用来求物体的转动惯量。
圆的周长逼近
圆的周长可以利用圆的内接正多边形的周长当变数无限增多时的极限来确定。
平面曲线弧长的极限思想
在曲线弧中取任意无数个点，并依次连接成为小折线，将这些折线极限求和，即可得到最终的平面曲线弧长。
这些应用展示了定积分在几何学中的强大功能和广泛应用。通过定积分，我们可以有效地计算出各种平面和立体图形的面积、长度、重心和转动惯量等几何量。