排列与组合是组合数学中的两个基本概念，用于处理元素的选择和排列问题。它们在统计学、概率论和其他数学分支中具有广泛的应用。
排列 （Permutation）
定义：排列是指从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个元素，并考虑选取的顺序。排列的关键特点是顺序重要。
公式：从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个元素的排列数计算公式为：
$$
P（n, k） = \frac{n!}{（n-k）!}
$$
其中，$n!$ 是 $n$ 的阶乘，表示从 1 乘到 $n$，$（n-k）!$ 是 $（n-k）$ 的阶乘，表示从 1 乘到 $（n-k）$。
例子：假设有 5 个元素 （A, B, C, D, E），我们要从中选出 3 个元素并考虑顺序：
$$
P（5, 3） = \frac{5!}{（5-3）!} = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
$$
这意味着有 60 种不同的排列方式。
组合 （Combination）
定义：组合是指从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个元素，而不考虑选取的顺序。组合的关键特点是顺序不重要。
公式：从 $n$ 个元素中选取 $k$ 个元素的组合数计算公式为：
$$
C（n, k） = \frac{n!}{k!（n-k）!}
$$
例子：假设有 5 个元素 （A, B, C, D, E），我们要从中选出 3 个元素，不考虑顺序：
$$
C（5, 3） = \frac{5!}{3!（5-3）!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10
$$
这意味着有 10 种不同的组合方式。
总结：
排列关注元素的顺序，而组合只关注元素的选择，不考虑顺序。
排列的公式为 $P（n, k） = \frac{n!}{（n-k）!}$，组合的公式为 $C（n, k） = \frac{n!}{k!（n-k）!}$。
排列和组合在许多实际问题中都有应用，如密码设计、座位安排、数据准备和研究中的概率等。