数列的极限是高等数学中的一个重要概念，用于描述数列在无限项的情况下趋于某个确定的数值或无穷大/无穷小的性质。
数列极限的定义
数列极限的正式定义如下：
设 $\{x_n\}$ 是一个数列，如果存在一个常数 $a$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（无论它多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|x_n - a| < \varepsilon$ 都成立，那么称常数 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，也可以说数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记为：
$$\lim_{n \to \infty} x_n = a \text{ 或 } x_n \to a \ (n \to \infty)$$
数列极限的性质
收敛数列的性质
如果数列的项无限接近一个确定的数值，这个数值就是数列的极限。
收敛数列的子列也收敛，且极限值相同。
发散数列
如果数列的项无限接近于无穷大或负无穷大，或者数列的项之间不存在确定的趋势，这个数列就称为发散数列。
单调有界原理
数列极限题常见的处理技巧是通过数列的递推公式或表达公式来运用单调有界原理，进而求出数列的极限。
极限的直观理解
极限描述了一个序列的动态趋近过程。给定一个数列，如果有通项公式，我们可以观察当 $n$ 趋于无穷大时，数列的变化规律。如果存在一个确定的数，使得数列的所有项在 $n$ 足够大时都无限接近这个数，那么这个数就是数列的极限。
极限的历史背景
极限的概念最早由牛顿和莱布尼兹在微积分的发展中提出，但直到 Cauchy 将其严格化后，我们现在所学的极限定义才成为标准。
实际应用
数列极限的概念在数学分析的许多领域都有广泛应用，包括级数收敛性判断、函数极限与连续性等。
通过以上定义和性质的介绍，我们可以更深入地理解数列极限这一概念，并学会如何应用它来解决实际问题。