椭圆的标准方程根据其焦点位置的不同而有所区别。具体公式如下：
当焦点在x轴上时
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)
$$
当焦点在y轴上时
$$
\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)
$$
其中，$a$ 和 $b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，且满足关系式 $a^2 = b^2 + c^2$，其中 $c$ 是焦点到椭圆中心的距离。
这些方程描述了椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数 $2a$ 的轨迹。椭圆的标准方程在数学几何、解析几何、数学和物理等领域有广泛的应用。