平面向量的数量积，也称为内积，是两个向量之间的一种运算，其结果是一个标量。具体定义如下：
定义
对于两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的数量积定义为 $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$，其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。
规定零向量与任一向量的数量积为 0。
几何意义
数量积 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 等于向量 $\mathbf{a}$ 的长度 $|\mathbf{a}|$ 与向量 $\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 方向上的投影 $|\mathbf{b}|\cos\theta$ 的乘积。
重要性质
交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$。
线性：对于任意实数 $\lambda$，有 $（\lambda\mathbf{a}） \cdot \mathbf{b} = \lambda（\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}） = \mathbf{a} \cdot （\lambda\mathbf{b}）$。
垂直条件：$\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$ 当且仅当 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$。
平行条件：$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$ 当且仅当 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \pm|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$。
自身点积：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$。
数量积的绝对值：$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，当且仅当 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 共线时等号成立。
坐标表示
若 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1x_2 + y_1y_2$。
应用
数量积在几何学中用于计算两向量之间的夹角、判断垂直关系、求向量的投影等。
在物理学中，数量积用于描述力在特定方向上的分量、计算功等。
通过以上定义和性质，我们可以看到平面向量的数量积不仅是一个重要的数学工具，而且在实际应用中也非常广泛。