等比数列前n项和的公式如下：
1. 当公比q不等于1时，前n项和Sn的公式为：
\[ S_n = \frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q} \]
其中，$a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
2. 当公比q等于1时，前n项和Sn的公式为：
\[ S_n = n \times a_1 \]
即前n项都是首项$a_1$。
这个公式可以通过数学归纳法或者错位相减法推导得到。推导过程如下：
首先，写出等比数列的前n项和：
\[ S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n-1} \]
然后，将这个和乘以公比q：
\[ qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n \]
接着，用第一个式子减去第二个式子：
\[ S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n \]
\[ （1 - q）S_n = a_1（1 - q^n） \]
最后，解出$S_n$：
\[ S_n = \frac{a_1（1 - q^n）}{1 - q} \]
这个公式在数学的许多领域中都有广泛应用，例如在计算复利、放射性衰变等问题中。