相交弦定理的证明可以通过以下步骤进行：
连结弦的中点
设圆内弦 $AB$ 和 $CD$ 相交于点 $P$，连接 $AC$ 和 $BD$。
利用圆周角定理的推论
由圆周角定理的推论，我们知道 $\angle A = \angle D$ 和 $\angle C = \angle B$。
应用相似三角形
由于 $\angle A = \angle D$ 和 $\angle C = \angle B$，根据角角相似（AA相似）定理，我们可以得出 $\triangle PAC \sim \triangle PDB$。
利用相似三角形的边成比例性质
由于 $\triangle PAC \sim \triangle PDB$，根据相似三角形的边成比例性质，我们有 $\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}$。
交叉相乘得出结论
将上述比例倒过来，我们得到 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$。
建议
在证明过程中，关键步骤是正确应用圆周角定理及其推论，以及利用相似三角形的性质。
该定理的逆定理也可以用于证明圆的内接四边形或四点共圆的问题，这是一个重要的应用。
通过以上步骤，我们证明了相交弦定理。