向量的数量积（也称为点积）可以通过向量的坐标来计算。如果两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的坐标分别是 $（x_1, y_1）$ 和 $（x_2, y_2）$，那么它们的数量积 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 可以表示为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
这个公式表明，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
解释
向量的数量积定义：
向量的数量积是一个标量，表示两个向量在同一方向上的投影的乘积。它等于两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$。
坐标表示：
假设向量 $\mathbf{a}$ 的坐标为 $（x_1, y_1）$，向量 $\mathbf{b}$ 的坐标为 $（x_2, y_2）$，则它们的数量积可以表示为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
这是因为向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 方向上的投影长度是 $x_1 \cos \alpha$，向量 $\mathbf{b}$ 在向量 $\mathbf{a}$ 方向上的投影长度是 $y_1 \cos \beta$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是两个向量之间的夹角。因此，数量积也可以表示为这两个投影长度的乘积：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = （x_1 \cos \alpha） （y_1 \cos \beta） = x_1 y_1 \cos \alpha \cos \beta
$$
由于 $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos（\alpha - \beta） + \cos（\alpha + \beta）]$，并且 $\cos（\alpha - \beta）$ 和 $\cos（\alpha + \beta）$ 在计算上比较复杂，我们通常使用坐标形式的数量积公式。
例子
假设 $\mathbf{a} = （3, 4）$，$\mathbf{b} = （1, 2）$，则它们的数量积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11
$$
这个结果也可以从几何角度理解：向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的长度分别是 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 和 $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，它们之间的夹角 $\theta$ 的余弦值可以通过 $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5 \sqrt{5}}$ 来计算。
因此，向量的数量积的坐标公式是：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$