傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，具有多种重要性质，这些性质使其在信号处理、通信、图像处理等领域非常有用。以下是傅里叶变换的主要性质：
线性性质
如果 $\mathscr{F}[f（t）]=F（\omega）$ 和 $\mathscr{F}[g（t）]=G（\omega）$，那么对于任意常数 $\alpha$ 和 $\beta$，有 $\mathscr{F}[\alpha f（t）+\beta g（t）]=\alpha F（\omega）+\beta G（\omega）$。傅里叶变换的逆变换也满足同样的性质，即 $\mathscr{F}^{-1}[\alpha F（\omega）+\beta G（\omega）]=\alpha f（t）+\beta g（t）$。
对偶性
若 $F（\omega）=\mathscr{F}[f（t）]$，则 $\mathscr{F}[F（t）]=2\pi f（-\omega）$。这表明时域中的函数和其傅里叶变换在频域中互为镜像。
平移性质
信号在时域中的平移会导致频域中相位的变化。具体来说，时域信号 $f（t）$ 平移 $\tau$ 时间单位，其频域表示 $F（\omega）$ 会变为 $F（\omega）e^{-j\omega\tau}$。
尺度变换性质
信号在时域中的尺度变换（即乘以一个常数 $k$）会导致频域中频率的等比例缩放。具体来说，$f（t）$ 乘以 $k$ 后，其频域表示 $F（\omega）$ 变为 $kF（\omega）$。
微分关系
时域中的微分或积分操作在频域中表现为乘以频率的线性函数。即，$f'（t）$ 的傅里叶变换是 $j\omega F（\omega）$，而 $\int f（t）dt$ 的傅里叶变换是 $\frac{1}{j\omega}F'（\omega）$。
时域卷积定理
时域中的卷积操作等于频域中的乘积。即，$f（t） * g（t）$ 的傅里叶变换是 $F（\omega）G（\omega）$。
频域卷积定理
频域中的卷积操作等于时域中的乘积。即，$F（\omega） * G（\omega）$ 的傅里叶变换是 $f（t）g（t）$。
能量守恒
信号的能量在时域和频域中是相等的。具体来说，信号 $f（t）$ 的总能量等于其频域表示 $F（\omega）$ 的平方的积分，即 $\int_{-\infty}^{\infty} |f（t）|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F（\omega）|^2 d\omega$。Parseval定理是能量守恒的另一种表述。
对称性
实信号的傅里叶变换具有共轭对称性，即如果 $x（t）$ 是实信号，那么它的傅里叶变换 $X（f）$ 满足 $X（-f）=X^*（f）$。偶信号的傅里叶变换是偶函数，奇信号的傅里叶变换是奇函数。这些对称性在信号处理中具有重要意义，因为它们可以简化计算和分析。
这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具，广泛应用于信号处理、通信、图像处理等领域。