泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法，它利用了函数在某一点的导数值来逼近函数本身。对于实数或复数域内的函数`f（x）`，其在点`a`的泰勒展开式定义为：
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f（x） = f（a） + f'（a）（x-a） + f''（a）（x-a）^2/2! + f'''（a）（x-a）^3/3! + ... + f^n（a）（x-a）^n/n! + ...
```
其中`f^n（a）`表示函数`f`在点`a`的`n`阶导数，`n!`是`n`的阶乘。
泰勒级数在许多数学领域都有应用，包括微积分、复分析、数值分析和物理学等。
例如，自然对数函数`ln（1+x）`在`x=0`处的泰勒展开式为：
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ln（1+x） = x - x^2/2 + x^3/3 - ... + （-1）^（k-1）x^k/k + ...，x∈（-1,1）
```
正弦函数`sin x`在`x=0`处的泰勒展开式为：
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sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... + （-1）^（k-1）x^（2k-1）/（2k-1）! + ...，x∈R
```
余弦函数`cos x`在`x=0`处的泰勒展开式为：
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cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... + （-1）^kx^（2k）/（2k）! + ...，x∈R
```
这些展开式在解决初等数学问题时非常有用，尤其是在需要近似计算函数值时。