泰勒级数展开公式是一种将函数表示为 无限项级数的方法，用于近似计算函数在特定点附近的值。其一般形式如下：
\[ f（x） = f（a） + f'（a）（x-a）/1! + f''（a）（x-a）^2/2! + f'''（a）（x-a）^3/3! + \cdots \]
其中：
\（ f（a） \） 表示函数 \（ f \） 在点 \（ a \） 处的函数值，
\（ f'（a） \） 表示函数 \（ f \） 在点 \（ a \） 处的一阶导数，
\（ f''（a） \） 表示函数 \（ f \） 在点 \（ a \） 处的二阶导数，
\（ f'''（a） \） 表示函数 \（ f \） 在点 \（ a \） 处的三阶导数，
\（ n! \） 表示 \（ n \） 的阶乘，即 \（ n! = n \times （n-1） \times （n-2） \times \cdots \times 1 \）。
展开式中的每一项都是函数 \（ f \） 在点 \（ a \） 处的导数与 \（ （x-a） \） 的幂次的乘积，系数是 \（ \frac{1}{n!} \）。
例如，如果要将函数 \（ f（x） = \sin（x） \） 在点 \（ a=0 \） 处展开成泰勒级数，那么可以先求出 \（ f \） 在点 \（ a=0 \） 处的导数，然后代入泰勒公式，得到：
\[ \sin（x） = \sin（0） + \cos（0）x/1! - \sin（0）x^2/2! - \cos（0）x^3/3! + \sin（0）x^4/4! + \cdots \]
化简后，可以得到：
\[ \sin（x） = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]
这就是 \（ \sin（x） \） 在点 \（ a=0 \） 处的泰勒级数展开式。
对于其他常见的函数，泰勒级数展开式也可以写成非常具体的形式。例如：
指数函数\（ e^x \）：
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \]
自然对数函数\（ \ln（1+x） \）：
\[ \ln（1+x） = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^k}{k} \quad （|x| < 1） \]
正弦函数\（ \sin（x） \）：
\[ \sin（x） = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!} + \cdots \]
余弦函数\（ \cos（x） \）：
\[ \cos（x） = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + （-1）^k \frac{x^{2k}}{（2k）!} + \cdots \]
这些展开式在数学分析、工程、物理等领域有广泛的应用，特别是在需要高精度计算的场合。