高斯求和公式是用于计算从1到n的所有整数的和的公式，其表达式为：
\[ S = \frac{n（n+1）}{2} \]
其中，\（ S \） 表示从1到n的所有整数的和，\（ n \） 是自然数的数量。
这个公式可以通过多种方法推导得出，其中一种常见的推导方法是将相邻两项的和相加，得到：
\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = （1 + n） + （2 + （n-1）） + \ldots + （n + 1） \]
将上述和式倒序排列，并与原和式相加，每一项都变成 \（ n + 1 \），共有 \（ n \） 项，因此：
\[ 2S = n（n+1） \]
从而得出：
\[ S = \frac{n（n+1）}{2} \]
高斯求和公式在数学中具有广泛的应用，例如在计算等差数列的和、概率和统计等领域中都有重要地位。此外，这个公式还可以通过数学归纳法得出，因此具有一定的证明性。