平面向量平行的公式如下：
向量平行的坐标表示
设两个向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$，若 $\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$，则有 $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$。
向量平行的向量表示
若两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 平行，则存在一个非零实数 $\lambda$，使得 $\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}$。
向量垂直的坐标表示
设两个向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$，若 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$，则有 $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$。
这些公式是平面向量理论中的基础知识，用于判断两个向量是否平行或垂直，以及通过坐标表示向量之间的关系。希望这些信息对你有所帮助。