一元二次方程的根与系数之间有一个非常重要的关系，这个关系被称为韦达定理。韦达定理告诉我们，对于形式为 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程（其中 $a \neq 0$），如果它的两个根是 $x_1$ 和 $x_2$，那么：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
两根之积$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
这个定理非常有用，因为它允许我们在不知道方程具体解的情况下，通过方程的系数来推断出根的和与积。这个关系在解决各种数学问题时都非常关键，包括求解方程中的未知系数、验证根是否满足方程、以及在几何和代数中的应用等。
值得注意的是，韦达定理的应用前提是方程必须要有实数根。因此，在运用韦达定理解题时，我们首先需要确认方程有实数根，这通常涉及到计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 并判断其符号。如果 $\Delta > 0$，则方程有两个不相等的实数根；如果 $\Delta = 0$，则方程有两个相等的实数根；如果 $\Delta < 0$，则方程没有实数根。
韦达定理的逆定理也成立，这意味着如果我们知道一元二次方程的两个根 $x_1$ 和 $x_2$，那么我们可以构造一个以这两个根为解的一元二次方程，其形式为 $x^2 - （x_1 + x_2）x + x_1x_2 = 0$。
总的来说，韦达定理是解决一元二次方程问题的一个强有力的工具，它连接了方程的系数和它的根，使得我们能够通过代数操作来解决与方程根相关的问题。