积分算法程序通常包括以下几种方法：
矩形法：
将积分区间划分成若干个等宽的矩形，然后计算每个矩形的面积并相加。矩形法又可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法。
梯形法：
将积分区间划分成若干个等宽的梯形，然后计算每个梯形的面积并相加。梯形法对曲线的变化更敏感，相对于矩形法更加精确。
辛普森法：
将积分区间划分成若干个等宽的子区间，然后用二次多项式对每个子区间进行逼近，再计算逼近的积分。辛普森法对曲线的变化更加敏感，相对于矩形法和梯形法更加精确。
龙贝格法：
将积分区间划分成若干个等宽的子区间，并使用复化梯形法和复化辛普森法进行逼近，最终得到积分结果。龙贝格法是一种递归算法，通过不断细分子区间进行逼近，从而提高积分的精度。
随机点法：
通过在积分区间内随机生成点，并根据这些点的函数值来估计积分值。
左矩形法：
在积分区间内，使用矩形法计算积分，但只取每个小区间的左端点作为矩形的高度。
复合梯形公式：
结合梯形法和矩形法，通过在不同小区间使用不同的方法来提高积分的精度。
高斯公式：
用于计算高斯积分，通常用于特定类型的数值计算问题。
这些方法各有优缺点，选择哪种方法取决于具体的应用场景和精度要求。在实际编程实现时，可以根据需要选择合适的算法，并进行相应的调整以优化计算效率和精度。