提请程序审核通常涉及以下步骤：
提交申请
公安机关认为需要逮捕犯罪嫌疑人时，应由承办人写出提请批准逮捕书，经县以上公安机关负责人批准后，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。
初步审查
人民检察院应及时审查公安机关提交的申请和相关的事实材料证明。审查批捕应由专门的检察人员负责审查，提出意见，经集体讨论后，再由检察长决定。重大案件要提交检察委员会讨论决定。
必要时的补充审查
审查批捕时，人民检察院必要时可以讯问犯罪嫌疑人、询问证人，以确保批捕质量，但不应另行侦查。
决定批准或不批准
人民检察院应当在接到提请批准逮捕书后的7日内作出批准逮捕或不批准逮捕的决定。
其他提请程序
对于减刑、假释等程序，也需要经过相应的审核和评审程序。例如，监狱刑罚执行部门审查后，出具审查意见，连同材料提交监狱提请减刑假释评审委员会评审，最终由监狱长办公会审议决定。
抗诉程序
刑事提请抗诉需要遵守书写抗诉申请书、提交给上一级的检察院、审核、确定受理抗诉请求的程序。抗诉请求的提出必须要按照既定的流程，并且需要提交能够证明一审确实存在瑕疵的证据。
建议
在进行提请程序时，应确保所有材料和证据的完整性和合法性，以便加快审核过程。
对于重大案件，建议提前与人民检察院或监狱管理部门沟通，确保程序顺利进行。
如果涉及减刑、假释等程序，应关注公示期和复核程序，确保结果的公正性。