项目申请延期的程序如下：
项目单位应当在项目核准文件或同意项目变更决定2年内未开工建设的情况下，在2年期限届满的30个工作日前，向项目核准机关申请延期开工建设。
承包单位应当在合同规定的有效期内以书面形式通知监理工程师，并向监理工程师提交详细的申述报告。申述报告应包括延期理由及依据。
监理工程师在收到申述报告后应及时进行调查核实，并准确地确定出工程延期时间。如果延期事件具有持续性，承包单位在合同规定的有效期内不能提交最终详细的申诉报告时，应先向监理工程师提交阶段性详情报告。监理工程师应在调查核实阶段性报告的基础上，尽快作出延长工期的临时决定，临时决定的延期时间不宜太长，一般不超过最终批准的延期时间。
延期事件结束后，承包单位应在合同规定的期限内向监理工程师提交最终的详情报告。监理工程师应复查详情报告的全部内容，并与业主和承包单位进行协商，以确定该延期事件所需要的延期时间。
监理工程师在作出临时工程延期批准或最终工程延期批准之前，均应与业主和承包单位进行协商。
建议项目单位在申请延期时，确保按照上述程序准备充分的材料和证据，并与相关方进行充分沟通，以确保延期申请能够顺利进行并获得批准。