四元一次方程组是由四个含有四个未知数的一次方程组成的方程组。通常，解决这类方程组的方法包括：
消元法
步骤一：通过方程之间的加减消去一个未知数，将四元一次方程组转化为三元一次方程组。
步骤二：继续消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组。
步骤三：继续消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后解出这个未知数。
步骤四：将求得的未知数代回之前的方程，逐步求出其他未知数。
代入法
从一个方程中解出一个未知数，然后将其代入其他方程，逐步求出其他未知数。
矩阵方法
将方程组的系数和常数项组成矩阵，通过行列式求解。
示例
考虑以下四元一次方程组：
\[
\begin{cases}
7x - 3y + z - 4q = -8 & \quad （1） \\
3x + 9y - 5z - q = -5 & \quad （2） \\
6x - 4y - 3z + 2q = 9 & \quad （3） \\
-x + 7y + 4z - 3q = 10 & \quad （4）
\end{cases}
\]
解法
消去x项
（1） - （3） 得：
\[
-72y + 38z - 5q = 11 \quad （5）
\]
（1） + （4） 得：
\[
46y + 29z - 25q = 62 \quad （6）
\]
（2） + （3） 得：
\[
10y + 27z - 38q = -111 \quad （7）
\]
解三元一次方程组（5）、（6）、（7）
（5） + （6） 得：
\[
1162z - 1393q = -3941 \quad （8）
\]
（5） + （7） 得：
\[
1918z - 1015q = 2485 \quad （9）
\]
（8） - （9） 得：
\[
-1492344q = -10446408
\]
解得：
\[
q = 7
\]
还原
将q=7代入（9）：
\[
1918z = 9590
\]
解得：
\[
z = 5
\]
将q=7代入（5）：
\[
-72y + 38 \times 5 - 5 \times 7 = 11
\]
解得：
\[
y = 2
\]
将q=7代入（1）：
\[
7x - 3 \times 2 + 5 - 4 \times 7 = -8
\]
解得：
\[
x = 1
\]
验证
将x=1, y=2, z=5, q=7代入所有原方程，验证等式成立。
通过以上步骤，我们成功解出了这个四元一次方程组。