线面平行

线面平行是立体几何中的一个概念，指的是一个直线与一个平面之间没有交点，即直线完全位于平面之外，并且与平面内的所有直线都不相交。以下是线面平行的一些判定定理和性质：

线面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

线面平行的性质定理

如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

如果两个平行的平面同时和第三个平面相交，那么这两条交线线线平行。

垂直于同一个平面的两条直线线线平行。

证明线面平行的方法

反证法：假设线面相交，然后通过逻辑推理找到矛盾，从而证明线面平行。

空间向量法：利用向量的性质，证明线向量的方向向量与面内向量的方向向量平行（即它们的点积为零）。

例子

已知直线 \（a\） 和平面 \（α\） 不相交，即 \（a \parallel α\）。要证明 \（a \parallel α\），可以使用反证法或向量法。

反证法证明

假设 \（a\） 与 \（α\） 不平行，则它们相交于一点 \（A\）。由于 \（a \parallel b\） 且 \（b \subset α\），则点 \（A\） 不在直线 \（b\） 上。在平面 \（α\） 内过点 \（A\） 作直线 \（c\） 平行于 \（b\），则 \（a \cap c = A\）。由于 \（a \parallel b\） 且 \（b \parallel c\），则 \（a \parallel c\），这与 \（a \cap c = A\） 矛盾。因此，假设不成立，所以 \（a \parallel α\）。

向量法证明

设 \（a\） 的方向向量为 \（\vec{a}\），\（b\） 的方向向量为 \（\vec{b}\），\（α\） 的法向量为 \（\vec{p}\）。由于 \（b \subset α\），则 \（\vec{b} \perp \vec{p}\），即 \（\vec{p} \cdot \vec{b} = 0\）。由于 \（a \parallel b\），由共线向量基本定理可知存在实数 \（k\） 使得 \（\vec{a} = k\vec{b}\）。因此，\（\vec{p} \cdot \vec{a} = \vec{p} \cdot （k\vec{b}） = k（\vec{p} \cdot \vec{b}） = 0\），即 \（\vec{a} \perp \vec{p}\），所以 \（a \parallel α\）。

以上是线面平行的基本概念和证明方法。