向量平行和垂直的公式推导如下：
向量平行公式
两个向量平行的充要条件是它们的方向相同或相反，即存在一个非零实数λ，使得向量a可以表示为向量b的λ倍。用坐标表示即：
\[
\mathbf{a} = \lambda \mathbf{b}
\]
其中，向量a和向量b的坐标分别为 \（（x_1, y_1）\） 和 \（（x_2, y_2）\），则有：
\[
（x_1, y_1） = \lambda （x_2, y_2）
\]
这意味着：
\[
x_1 = \lambda x_2
\]
\[
y_1 = \lambda y_2
\]
将上述两式相乘并整理，得到向量平行的坐标公式：
\[
x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
\]
向量垂直公式
两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零，即：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
\]
用坐标表示即：
\[
（x_1, y_1） \cdot （x_2, y_2） = 0
\]
这意味着：
\[
x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
\]
几何解释
从几何角度来看，两个向量垂直意味着它们之间的夹角为90度。根据勾股定理，两个向量的长度平方和等于它们之间的距离平方。如果设向量 \（\mathbf{A} = （x_1, y_1）\） 和 \（\mathbf{B} = （x_2, y_2）\） 分别为两个向量，它们之间的距离 \（D\） 可以表示为：
\[
D = \sqrt{（x_1 - x_2）^2 + （y_1 - y_2）^2}
\]
根据勾股定理，有：
\[
\|\mathbf{A}\|^2 + \|\mathbf{B}\|^2 = D^2
\]
即：
\[
x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = （x_1 - x_2）^2 + （y_1 - y_2）^2
\]
展开并整理上述等式，可以得到：
\[
x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2
\]
\[
0 = -2x_1x_2 - 2y_1y_2
\]
\[
x_1x_2 + y_1y_2 = 0
\]
结论
综上所述，向量平行和垂直的公式分别为：
1. 向量平行：\[
x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
\]
2. 向量垂直：\[
x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
\]
这些公式在二维和三维空间中都成立，并且是判断两个向量关系的重要工具。